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Autor:innen dieser Seite: An den Inhalten dieser Seite haben mitgearbeitet: Markus Janczyk und Valentin Koob. Der Inhalt dieser Seite wird in der Lehre in den Studiengängen Psychologie von der AG Psychologische Forschungsmethoden und Kognitive Psychologie an der Universität Bremen verwendet, steht aber allen Interessierten zur Verfügung. Rückmeldungen/Fehler/Vorschläge können gesendet werden an .

Versionshistory:

  • v1.11: minimale Korrekturen (3.6.2024)
  • v1.1: Ergänzung Variablen- vs. Personenraum (Abschnitt 10.1.4) (27.5.2024)
  • v1.0: erste online-gestellte Version (3.3.2024)

10 Einführung in die Lineare Algebra

Dieser Teil befasst sich – auf den ersten Blick – mit einem gar nicht so statistisch anmutendem Thema, nämlich der Linearen Algebra. Allerdings werden in den folgenden Teilen Vektoren und Matrizen sich als äußerst nützliche und kompakte Schreibweisen erweisen, um bestimmte Themen darstellen zu können. Daher werden wir hier Grundlagen von Vektoren und Matrizen und deren Rechenregeln behandeln, einige Eigenschaften diskutieren und am Ende etwas ausführlicher die Determinante einer Matrix sowie Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix behandeln.

10.1 Vektoren

Ein Vektor ist eine Zusammenfassung von \(n\) Zahlen \(x_i\) (auch Elemente genannt). Wir beschränken uns dabei auf den Raum der reellen Zahlen, d.h. jedes Element des Vektors ist eine reelle Zahl, also \(x_i \in \mathbb{R}\). Im Folgenden sind Vektoren immer klein und fett gedruckt und die Notation lautet dann:

\[\begin{align*} \bf x &= \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} \end{align*}\]

In Kurzform schreiben wir \(\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n\), wobei \(n\) die Anzahl der Elemente darstellt. Sofern nicht anders vermerkt sind Vektoren immer Spaltenvektoren, während Zeilenvektoren dargestellt werden als:

\[\begin{align*} \bf x' &= \begin{pmatrix} x_{1} \phantom{x} x_{2} \phantom{x} \dots \phantom{x} x_{n} \phantom{x} \end{pmatrix} \end{align*}\]

Dabei zeigt das Apostroph an, dass der Vektor transponiert wurde, d.h. der Vektor nun einer Zeile entspricht.

Geometrisch sind Vektoren Geraden in einem \(p\)-dimensionalen Raum, die hinsichtlich ihrer Länge und Richtung, nicht aber ihrer Lage, spezifiziert sind. In einem 2-dimensionalen Raum kann der Vektor \[ \mathbf{x}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix} \] wie folgt gezeichnet werden:

Wenn der Vektor seinen Ausgang im Ursprung hat, das heißt bei den Koordinaten \((0,0\)), dann spricht man von der Standardposition eines Vektors und in diesem Fall entsprechen die Werte eines Vektors den Koordinaten der Vektorspitze.