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Autor:innen dieser Seite: An den Inhalten dieser Seite haben mitgearbeitet: Valentin Koob, Eva Röttger und Markus Janczyk. Der Inhalt dieser Seite wird in der Lehre in den Studiengängen Psychologie von der AG Forschungsmethoden und Kognitive Psychologie an der Universität Bremen verwendet, steht aber allen Interessierten zur Verfügung. Rückmeldungen/Fehler/Vorschläge können gesendet werden an randolph@uni-bremen.
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Werden in einer einfaktoriellen (between-subject) Varianzanalyse nur \(J=2\) Ausprägungen eines Faktors – das heißt, nur 2 Stichproben – miteinander verglichen, dann sind die einfaktorielle Varianzanalyse und der \(t\)-Test ineinander überführbar und es gilt \[t^2=F\] Diesen Zusammenhang zeigen wir hier für den Fall gleicher Stichprobengrößen, \(n=n_1=n_2\).
Zunächst betrachten wir vorab eine kurze Nebenrechnung, die an späterer Stelle im Beweis benötigt wird. Dies betrifft eine Umformulierung des Terms \[(M_1-M)^2\qquad\text{bzw. analog }\qquad(M_2-M)^2\] Hier machen wir uns zu Nutze, dass der Gesamtmittelwert \(M\) bei gleich großen Stichproben auch als Mittelwert der Mittelwerte \(M_1\) und \(M_2\) geschrieben werden kann: \[\begin{aligned} (M_1-M)^2 &= \left(M_1-\frac{M_1+M_2}{2}\right)^2 && \text{| erweitern mit }\frac{2}{2}\\\\ &= \left(\frac{2\cdot M_1-(M_1+M_2)}{2}\right)^2 && \\\\ &= \left(\frac{2\cdot M_1- M_1 - M_2}{2}\right)^2 && \\\\ &= \left(\frac{(M_1 - M_2)}{2}\right)^2 && \\\\ &= \frac{(M_1 - M_2)^2}{4} && \end{aligned}\]Ganz ähnlich gilt \[ (M_2-M)^2=\frac{(M_2 - M_1)^2}{4} \] Da der Zähler beider Ausdrücke quadriert wird, sind darüberhinaus beide Ausdrücke gleich, das heißt: \[ \frac{(M_1 - M_2)^2}{4}+\frac{(M_2 - M_1)^2}{4} = \frac{2\cdot (M_1 - M_2)^2}{4} \] Nun beginnen wir mit dem eigentlichen Beweis und schreiben zunächst den \(F\)-Bruch aus. In den ersten Schritten setzen wir dann \(J=2\) und \(n_j=n\) ein und schreiben die Gesamtstichprobengröße als \(N=2n\): \[\begin{equation*} \begin{aligned} F=\frac{MS_A}{MS_w}&=\frac{\frac{\sum_{j=1}^Jn_j(M_j-M)^2}{J-1}}{\frac{\sum_{j=1}^J\sum_{i=1}^{n_j}(y_{ij}-M_j)^2}{N-J}}\\\\ &=\frac{n\frac{\sum_{j=1}^2(M_j-M)^2}{2-1}}{\frac{\sum_{j=1}^2\sum_{i=1}^{n}(y_{ij}-M_j)^2}{2n-2}}\\\\ &=\frac{n\left[ \left(M_1- M\right)^2 + \left(M_2-M \right)^2 \right]} {\frac{\sum_{i=1}^n(y_{i1}-M_1)^2 + \sum_{i=1}^n(y_{i2}-M_2)^2 } {2n-2}}\\\\ \end{aligned} \end{equation*}\] Nun setzen wir im Zähler das Ergebnis obiger Nebenrechnung ein und ziehen \(\frac{2}{4}\) direkt vor die Klammer. Im Nenner wiederum sind die gebildeten Summen das \(n\)-fache der Varianzen beider Gruppen und werden entsprechend ersetzt: \[\begin{equation*} \begin{aligned} \phantom{F=\frac{MS_A}{MS_w}}&=\frac{\frac{2n}{4}\left[ (M_1-M_2)^2 \right]}{\frac{nS_1^2+nS_2^2}{2n-2}} &&\text{| im Nenner 2 bzw. }n\text{ ausklammern}\\\\ &=\frac{\frac{n}{2}\left[(M_1-M_2)^2\right]}{\frac{n(S_1^2+S_2^2)}{2(n-1)}} && \\\\ &=\frac{\frac{n}{2}(M_1-M_2)^2}{\frac{n(S_1^2+S_2^2)}{2(n-1)}} && \text{| }\frac{n}{2}\text{ kürzen}\\\\ &=\frac{(M_1-M_2)^2}{\frac{S_1^2+S_2^2}{n-1}}=t^2 \qquad\square \end{aligned} \end{equation*}\]