Willkommen bei Stats by Randolph. Hier geht es zur Hauptseite mit weiteren Informationen und Inhalten.
Autor:innen dieser Seite: An den Inhalten dieser Seite haben mitgearbeitet: Valentin Koob, Eva Röttger und Markus Janczyk. Der Inhalt dieser Seite wird in der Lehre in den Studiengängen Psychologie von der AG Forschungsmethoden und Kognitive Psychologie an der Universität Bremen verwendet, steht aber allen Interessierten zur Verfügung. Rückmeldungen/Fehler/Vorschläge können gesendet werden an randolph@uni-bremen.
Versionshistory:
In Teil 6 hatten wir festgehalten, dass die Varianz der Residuen \[S_E^2=(1-r_{XY}^2)\cdot S_Y^2\] ist. Der Beweis dieser Gleichung erfordert einige Zwischenschritte:
Wir beginnen mit der Formel für die Korrelation wie folgt: \[ r_{XY}=\frac{\text{Kov}(X,Y)}{S_X\cdot S_Y}\Leftrightarrow \text{Kov}(X,Y)=r_{XY}\cdot S_X\cdot S_Y \]
Diese Beziehung nutzen wir weiter, indem wir die umgestellte Gleichung in die Formel der Regressionsteigung einsetzen: \[\begin{equation*} \begin{aligned} b&=\frac{\text{Kov}(X,Y)}{S_X^2}\\\\ &=\frac{r_{XY}\cdot S_X\cdot S_Y}{S_X^2}\\\\ &=\frac{r_{XY}\cdot S_Y}{S_X} \end{aligned} \end{equation*}\]
Nun beweisen wir folgende Beziehung: \[\begin{equation} \text{Kov}(Y,\hat{Y})=r_{XY}^2\cdot S_Y^2 \end{equation}\] Dabei benutzen wir die gezeigten Zusammenhänge aus Schritt 1 und 2: \[\begin{equation*} \begin{aligned} \text{Kov}(Y,\hat{Y})&=\text{Kov}(Y,bX+a)\\\\ &=b\cdot \text{Kov}(Y,X)\\\\ &=\frac{r_{XY}\cdot S_Y}{S_X} \cdot \text{Kov}(Y,X)\\\\ &=\frac{r_{XY}\cdot S_Y}{S_X} \cdot r_{XY}\cdot S_X\cdot S_Y\\\\ &=r^2_{XY}\cdot S_Y^2 \end{aligned} \end{equation*}\]
Nun beginnen wir mit \(S_E^2\). Per Definition ist \(E=Y-\hat{Y}\), was der Beginn des Beweises ist. Anschließend setzen wir die gezeigte Beziehung aus Schritt 3 ein. \[\begin{equation*} \begin{aligned} S_E^2&=S^2_{Y-\hat{Y}}\\\\ &=S_Y^2+S^2_{\hat{Y}}-2\cdot \text{Kov}(Y,\hat{Y})\\\\ &=S_Y^2+S^2_{\hat{Y}}-2\cdot r_{XY}^2\cdot S_Y^2 \end{aligned} \end{equation*}\]
Nun gilt es zu beachten, dass die Varianz von \(\hat Y\) der um das Quadrat der Korrelation geminderten Varianz von \(Y\) entspricht; \(S_{\hat Y}^2 = r_{XY}^2\cdot S_Y^2\) (siehe Teil 6 für mehr Infos). Somit gilt:
\[\begin{equation*} \begin{aligned} S_E^2&=S_Y^2+S^2_{\hat{Y}}-2\cdot r_{XY}^2\cdot S_Y^2\\ &=S_Y^2+r^2_{XY}\cdot S_Y^2-2\cdot r_{XY}^2\cdot S_Y^2\\ &=S_Y^2-r^2_{XY}\cdot S_Y^2\\ &=S_Y^2\cdot (1-r^2_{XY}) \quad \square \end{aligned} \end{equation*}\]