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Autor:innen dieser Seite: An den Inhalten dieser Seite haben mitgearbeitet: Valentin Koob, Eva Röttger und Markus Janczyk. Der Inhalt dieser Seite wird in der Lehre in den Studiengängen Psychologie von der AG Forschungsmethoden und Kognitive Psychologie an der Universität Bremen verwendet, steht aber allen Interessierten zur Verfügung. Rückmeldungen/Fehler/Vorschläge können gesendet werden an randolph@uni-bremen.
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In Teil 6 von Statistik 1 haben wir die Partialkorrelation als Korrelation zweier Residuenvariablen eingeführt und folgende Formel kennengelernt: \[ r_{XY\cdot Z}=r_{E_X E_Y}=\frac{r_{XY}-r_{XZ}\cdot r_{YZ}}{\sqrt{1-r^2_{XZ}}\cdot\sqrt{1-r^2_{YZ}}} \] Die Residuen spiegeln hier die Variablen \(X\) und \(Y\) wider, die vom linearen Einfluss der Variablen \(Z\) befreit wurden. Dazu wurden zunächst die beiden Regressionen von \(X\) und \(Y\) auf \(Z\) berechnet (ein Index \(X\cdot Z\) bzw. \(Y\cdot Z\) meint dabei, dass der Wert aus der Regression von \(X\) bzw. \(Y\) auf \(Z\) stammt), \[\hat{X} = a_{X\cdot Z} + b_{X \cdot Z} \cdot Z \quad ,\] und \[\hat{Y}= a_{Y\cdot Z} + b_{Y \cdot Z} \cdot Z \quad ,\] und daraus die Residuen berechnet: \[E_X=X-\hat{X}\hspace{0.5cm}\text{und}\hspace{0.5cm}E_Y=Y-\hat{Y}\]
Für die Herleitung relevant sind nun weiter die folgenden Formeln (vgl. Teil 6), welche die Beziehungen zwischen dem Regressionskoeffizienten \(b\) und der Kovarianz bzw. Korrelation zweier Variablen beschreiben:
\[b_{X\cdot Z} = \frac{\text{Kov}(X,Z)}{S_Z^2} = r_{XZ} \cdot \frac{S_X}{S_Z}\Rightarrow \text{Kov}(X,Z) = r_{XZ}\cdot S_X \cdot S_Z\] \[b_{Y\cdot Z} = \frac{\text{Kov}(Y,Z)}{S_Z^2} = r_{YZ} \cdot \frac{S_Y}{S_Z}\Rightarrow \text{Kov}(Y,Z) = r_{YZ}\cdot S_Y \cdot S_Z\]
Für den eigentlichen Beweis zeigen wir zunächst, dass \[\text{Kov}(E_X,E_Y)=S_XS_Y(r_{XY}-r_{XZ}\cdot r_{YZ})\] gilt: \[\begin{align} \text{Kov}(E_X,E_Y) &= \text{Kov}(X-\hat{X},Y-\hat{Y}) \\ &= \text{Kov}(X,Y) - \text{Kov}(X,\hat{Y}) - \text{Kov}(\hat{X},Y) + \text{Kov}(\hat{X},\hat{Y}) \\ &= \text{Kov}(X,Y) - \text{Kov}(X,a_{Y\cdot Z} + b_{Y\cdot Z} Z) - \text{Kov}(a_{X\cdot Z} + b_{X \cdot Z} Z,Y) + \text{Kov}(a_{X\cdot Z} + b_{X \cdot Z} Z, a_{Y\cdot Z} + b_{Y \cdot Z} Z) \\ &= \text{Kov}(X,Y) - b_{Y\cdot Z}\text{Kov}(X,Z) - b_{X\cdot Z}\text{Kov}(Z,Y) + b_{X\cdot Z}b_{Y\cdot Z}\text{Kov}(Z,Z) \\ &= r_{XY}S_XS_Y - r_{YZ}\frac{S_Y}{S_Z}r_{XZ}S_XS_Z - r_{XZ}\frac{S_X}{S_Z}r_{ZY}S_YS_Z + r_{XZ}\frac{S_X}{S_Z}r_{YZ}\frac{S_Y}{S_Z}S_Z^2 \\ &= r_{XY}S_XS_Y - r_{YZ}r_{XZ}S_YS_X - r_{XZ}r_{ZY}S_YS_X + r_{XZ}r_{YZ}S_XS_Y \\ &= S_XS_Y(r_{XY}-r_{YZ}r_{XZ}-r_{YZ}r_{XZ}+r_{YZ}r_{XZ}) \\ &= S_XS_Y(r_{XY}-r_{YZ}r_{XZ}) \end{align}\]
Aus Teil 6 (Abschnitt 6.3.2) kennen wir zudem bereits die Varianz der Residuen und können diese hier direkt schreiben als: \[S_{E_X}^2=S_X^2(1-r_{XZ}^2)\quad\text{und}\quad S_{E_Y}^2=S_Y^2(1-r_{YZ}^2)\] Da weiter \[r_{E_X E_Y}=\frac{\text{Kov}(E_X,E_Y)}{S_{E_X}S_{E_Y}}\] ist, können wir die einzelnen Teile nun einsetzen und erhalten: \[\begin{align} r_{E_X E_Y} &= \frac{\text{Kov}(E_X,E_Y)}{S_{E_X}S_{E_Y}} \\ &= \frac{S_XS_Y(r_{XY}-r_{XZ}\cdot r_{YZ})}{\sqrt{S_X^2(1-r_{XZ}^2)} \cdot \sqrt{S_Y^2(1-r_{YZ}^2)}} \\ &= \frac{S_XS_Y(r_{XY}-r_{XZ}\cdot r_{YZ})}{S_XS_Y\sqrt{1-r_{XZ}^2} \cdot \sqrt{1-r_{YZ}^2}} \\ &= \frac{r_{XY}-r_{XZ}\cdot r_{YZ}}{\sqrt{1-r^2_{XZ}}\cdot\sqrt{1-r^2_{YZ}}} \end{align}\]